Plongement de certaines théories homotopiques de Quillen dans les dérivateurs

L’objectif de ce papier est de comparer la 2-catégorie des théories homotopiques de Quillen combinatoires propres à gauche avec une 2-catégorie de dérivateurs de Grothendieck. La 2-catégorie THQcpg des théories homotopiques de Quillen combinatoires propres à gauche est la bi-localisation de la 2-catégorieModQcpg des catégories modèles de Quillen combinatoires propres à gauche relativement aux équivalences de Quillen. Dans un premier temps, on utilise des résultats de D. Pronk et de D. Dugger pour produire une construction de la 2-catégorie THQcpg . Dans un second temps, on utilise des résultats de D.-C. Cisinski pour obtenir une équivalence locale THQcpg → Derad où Derad désigne la 2-catégorie des dérivateurs à droite et à gauche avec les adjonctions pour 1-morphismes. La première section est consacrée à quelques rappels concernant le cadre 2-catégorique du papier et à la notion de bilocalisation d’une 2-catégorie C relativement à une classeW de ses 1-morphismes et plus la spécifiquement la notion de 2-catégorie de fraction introduite par D. Pronk dans [1]. Notamment D. Pronk construit une bi-localisation de C relativement àW lorsque la classeW admet un calcul par fraction à droite. Le but de la deuxième section est de construire une bi-localisation de la 2-catégorieModQcpg des modèles de Quillen combinatoires propres à gauche relativement aux équivalences de Quillen. On introduit d’abord des objets cylindre et chemin dans la 2-catégorie ModQ des modèles de Quillen, qui mènent naturellement aux homotopies de Quillen, i.e. aux transformations naturelles deModQ qui sont des équivalences faibles sur les cofibrants. L’intérêt principal de ces modèles cylindres pour la suite est qu’ils assurent qu’un pseudo-foncteur de source ModQ qui envoie les équivalences de Quillen dans les équivalences, envoie également les homotopies de Quillen dans les isomorphismes. On se place ensuite dans la 2-catégorieModQc des modèles de Quillen combinatoires. On rappelle la notion de modèle présentable et le théorèmede ‘‘résolution’’ deD. Dugger [2], selon lequel toutmodèle combinatoire est but d’une équivalence de Quillen de source un modèle présentable. Suivant toujours des observations de D. Dugger [3], on énonce un résultat d’invariance homotopique qui reflète le caractère ‘‘cofibrant’’ des modèles présentables. On utilise alors ces propriétés pour construire une 2-catégorieModQcpg et un pseudo-foncteur γ :ModQcpg →ModQcpg initial parmi les pseudo-foncteurs de source ModQcpg envoyant les homotopies de Quillen dans les 2-isomorphismes. On vérifie ensuite que les équivalences de Quillen dansModQcpg admettent un calcul par fraction à droite. On en déduit